群论
集合，配以满足以下条件的映射（群乘法），称为群：
（a），
（b）存在恒等元，使得，
（c），存在逆元，使得
乘法满足交换律的群，称为阿贝尔群，
只含有有限个元素的群，叫做有限群，否则叫做无限群。
群的子集称为的子群，
如果用的乘法为乘法也构成群。
同态
设和是群，映射叫做同态，
若，。
同态映射有以下性质：
（a）若分别为的恒等元，则
（b），
（c）是的子群
一一到上的同态映射称为同构，
同构称为群上的自同构。
，可以构造一个自同构映射，
记为，
定义为，，
称为伴随同构，或称内自同构。
直积群
群和（看做两个集合），它们的卡氏积，
按下列乘法构成的群，称为和的直积群，
，
左陪集
设是群的子群，，
则称为的含的左陪集，
类似的可以定义右陪集。
如果子群的两个左陪集有交，则两者必相等。
群的子群称为正规子群，或不变子群，
若，。
设是群，则，为自同构映射，
以映射的复合为群乘法构成群，称为群的自同构群。
以代表上全体内自同构映射的集合，
即，
则是群的一个正规子群。
半直积群
设和是群，且存在同态映射，
并且，把简记为，
则配以下式定义的群乘法，
，
，
所构成的群称为和的半直积群，记为。
李群
若既是维（实）流形又是群，其群乘映射，
和求逆映射，都是的，
则叫做维（实）李群。
李群和之间的同态映射，称为李群同态。
李群同态称为李群同构，若为微分同胚。
李群的子集称为的李子群，
若既是的子流形，又是的子群。
左平移
，映射，，
叫做由生成的左平移。
以下讨论经常涉及的一点的矢量，和的一个子集上的矢量场，
我们将用代表一点的矢量，
用代表矢量场，
用代表矢量场在点的值。
上矢量场，叫做左不变的，
若，，
其中是由左平移映射诱导的推前映射。
考虑到微分同胚，它诱导的推前映射把上的矢量场，
映射为上的矢量场，
满足，。
令，，，
我们有。
取左不变矢量场定义中的等式在处的值，可得，
，，
因此，我们得到了一个左不变矢量场的等价定义，
。
左不变矢量场之和，以及左不变矢量场乘以常数，仍为左不变矢量场，
因此所有左不变矢量场的集合是一个矢量空间。
上全体左不变矢量场的集合，
与的恒等元的切空间，（作为两个矢量空间）同构。
李代数
在矢量空间上定义某种称为“乘法”的映射，就得到一个代数。
一种重要的乘法叫做李括号，记做，
它是满足以下两个条件的双线性映射：
（a），
（b），
条件（b）称为雅可比恒等式。
定义了李括号的矢量空间，称为李代数，
任意两个元素的李括号都为零的李代数，称为阿贝尔李代数。
上全体左不变矢量场的集合是李代数。
李代数同态
设和是李代数，
线性映射称为李代数同态，
若它保李括号，即，。
李代数同态称为李代数同构，
若是一一到上映射。
李群的李代数
对李群的恒等元的切空间用下式定义李括号，
，，
其中分别是对应的左不变矢量场。
则成为李代数，称为李群的李代数，记为。
给定一个李代数，总可以找到唯一的单联通李群，
它以所给李代数为李代数。
设和分别是李群和的李代数，
是同态映射，
则在点诱导的推前映射，
是李代数同态。
李子代数
李代数的子空间，称为的李子代数，
若，。
其中是把看做的元素时的李括号，
现在也称为子代数的李括号。
设是李群的李子群，
则的李代数是的李子代数。
李代数的子代数称为的理想，
若，。
设是理想，
代表以等价类为元素的集合，
（叫做等价的，若）
则是李代数，称为商李代数。
李代数为单李代数，若它不是阿贝尔李代数，
而且除及外不含理想。
称为半单李代数，若它不含非零的阿贝尔理想。
相应的，李群称为单李群，若它不是阿贝尔群，
而且除外不含正规子群。
称为半单李群，若它不含阿贝尔正规子群。