可微函数
维欧氏空间，简记为，是有序的元实数组的集合，
并赋予标准的距离所构成的空间，其元素称为“点”。
中任意两点，之间的距离定义为，
。
设是的一个开集，为正数，
如果上的实函数具有直到阶的各阶连续偏导数，
则称为上的一个次可微函数。
上的次可微函数的集合记为，
依此记法，上的连续函数的集合记作。
给定函数，如果对于任意的非负整数，
都有，则称函数是上的一个光滑函数，
上的光滑函数的集合记作。
为了方便起见，把中的函数，称为（上的）函数。
欧氏空间之间的映射
设是的一个开子集，
是从到维欧氏空间的映射，
显然，映射可以用上的个实函数表示为，
，
其中，称为映射的分量。
如果对于每一个，都是上的函数，
则称映射为（从到的）映射。
特别的，如果是的一个开区间，
则映射又称为中的一条光滑曲线。
拓扑流形和微分流形
设是一个非空的Hausdorff空间，
如果对于每一点，都存在点的开邻域，
以及从到维欧氏空间的某个开集上的同胚，
则称为一个维拓扑流形。
上述定义中的称为的一个坐标卡，
此时，开集称为点的坐标邻域，称为坐标映射。
于是，所谓的拓扑流形实际上就是在局部上同胚于维欧氏空间的Hausdorff空间，
即它的每一点都有同胚于中某个开集的坐标邻域。
设是一个维拓扑流形，与是的两个坐标卡，
如果，或者当时，映射
和，
都是映射，则称坐标卡与是相容的。
显然，拓扑流形的任意两个坐标卡必定是相容的。
设是一个拓扑流形，
是的若干坐标卡构成的集合，为指标集。
如果满足下列三个条件，
则称为拓扑流形的一个微分结构，
（1）是是一个开覆盖，
（2），与是相容的，
（3）是极大的，换句话说，对于的任意一个坐标卡，
如果它和中的每一个成员都是相容的，则它一定属于。
微分结构，称为光滑结构。
设是一个维拓扑流形，是的一个微分结构，
则称是一个维微分流形。
此时，中的坐标卡统称为微分流形的容许坐标卡。
特别的，微分流形，又称为光滑流形。
在不引起混淆的情况下，也用表示一个微分流形。
局部坐标系
设是维微分流形的一个容许坐标卡，
则对于，把在中的坐标，
称为点的局部坐标。
以这样的方式，在上确定了一个坐标系，
称为在点的一个（由局部坐标卡给出的）局部坐标系，
记为，或，
其中，定义在上的个函数，
称为（局部）坐标函数。
对于的任意两个相容的局部坐标系和，
如果，则称映射，
，
为从到的（局部）坐标变换，
它可以表示为，
，。
由此所得到的阶方阵，，
称为局部坐标变换的Jacobi矩阵，
相应的行列式称为的Jacobi行列式，
并且记，
。
流形间的映射
设是一个维光滑流形，为的非空子集，
是定义在上的实值函数，
如果对于的任意一个容许坐标卡，当时，
，是函数，
则称是上的函数。
上的函数又称为光滑函数。
开集上全体函数的集合记作，
特别的，上全体光滑函数的集合记作。
不难看出，关于函数的加法和乘法构成一个环。
设为光滑流形，，是定义在点某个邻域上的函数，
如果存在的开邻域，使得是上的函数，
则称是定义在点附近的函数，简称为在点的函数。
全体在点的函数构成的集合记作，
一般的，中两个函数可以有不同的定义域，
但是它们在点的某一个开邻域上都有定义并且是的，
因此，中可以定义加法和乘法。
设分别是维光滑流形，为映射，，
如果存在在点的容许坐标卡，
以及在点的容许坐标卡，使得，
并且复合映射，，是映射，
则称映射在点是的（或光滑的）。
通常，称映射为映射关于坐标卡和的局部表示，
具体的写出来，它由个元实函数组成。
设是光滑流形间的映射，
如果在的每一点处都是的，
则称为映射，或光滑映射。
设和是两个光滑流形，是一个同胚，
如果及其逆映射都是光滑的，
则称是从到的光滑同胚，或微分同胚。
此时，也称和彼此光滑（或微分）同胚。
如果是一个光滑映射，并且对于每一点，
都有的一个开邻域使得是中的开子集，
并且，是从到的光滑同胚，
则称是从到的局部光滑同胚。
显然，如果是从到的光滑同胚，
则是从到的光滑同胚。
切向量
假定是一个维光滑流形，，
表示在点的光滑函数的集合。
光滑流形在点的一个切向量指的是，
满足以下两个条件的映射，
（1），，，
（2），。
设是点的一个局部坐标系，
对于任意的，记，
。
设，，
对于向量，我们定义映射如下，
对于任意的函数，令，
，
则是函数在点沿向量的方向导数。
容易验证，方向导数算子满足切向量的条件，
所以它是在点的一个切向量。
假定，则，
。
因此，算子是由向量唯一决定的。
反之，可以证明，如果映射满足切向量的条件，
则必有唯一的一个向量，使得相应的方向导数算子。
所以，向量与方向导数算子是一一对应的，
这就是说，可以把和等同起来。
设是一个维光滑流形，
是上的一条光滑曲线，记，
利用可以定义一个映射如下，
对于任意的，令，
。
容易验证，映射满足切向量的条件，
因此，是光滑流形在点的一个切向量，
称为曲线在点处的切向量，记为，
这样上式成为，。
切空间
把光滑流形在点处的切向量构成的集合，记为，
在中，引入加法和数乘运算如下，
对于任意的，，以及，定义，
，
。
显然，这样定义的和仍然是在点的切向量，
即关于这样的加法和数乘运算是封闭的。
进一步可以验证，关于上述的加法和数乘运算构成一个实向量空间。
向量空间，称为光滑流形在点的切空间。
设是在点的一个局部坐标系，
，，
对于每一个，
设是通过点的第条坐标曲线（称为曲线），
即对于任意的，
。
因此，是在点的一个切向量，以后记为。
由定义，对于任意的，
。
设是一个维光滑流形，，
是包含点的任意一个容许的局部坐标系，
则在点的个切向量，，，
构成了切空间的一个基底，特别的，。
通常把基底，
称为在点处由局部坐标系给出的自然基底。
可证，任何一个切向量，在自然基底下的分量，
恰好是该切向量，在第个局部坐标函数上作用得到的值，，
。
余切向量
切空间的对偶空间，称为光滑流形在点的余切空间，记为，
其中的元素，即线性函数，称为在点的余切向量。
为了强调切空间与余切空间的对偶性，
常常把一个余切向量在切向量上的作用记为。
由确定的映射，
，
称为与之间的配合。
设，定义映射如下，
对于任意的，
。
显然是上的线性函数，即，
有时，为了强调是在点的一个余切向量，也把记为，或。
设是光滑流形的一个容许局部坐标系，，
由于每个坐标函数都是上的光滑函数，因而，并且，
。
由此可见，是中与自然基底
对偶的基底。
一般的，对于任意的，有
，
特别的，对于任意的，
。
因此，余切向量，也称为函数在点的微分。
切映射和余切映射
设分别是维光滑流形，是光滑映射，，
对于任意的，我们可以通过映射得到切向量，其定义为，
，。
这样，就得到一个映射，
易知，是线性映射，称为光滑映射在点的切映射，或微分，
它的对偶映射，
称为光滑映射在点的余切映射，或拉回映射。
由对偶映射的定义，余切映射也是线性映射，
并且对于任意的，由下式定义，
，。
为了强调对于点的依赖性，
常常用和来表示映射在点的切映射和余切映射。
切向量场
设是一个维光滑流形，在每一点处都有切空间，记
。
上的一个切向量场是指，在的每一个点处指定了在该点的一个切向量，
换句话说，上的切向量场是一个映射，
使得对于任意一点，。
比如，在的任意一个容许局部坐标系下，
是上的切向量场，
特别的，这样一组切向量场在中每一点处的值，构成该点的切空间的一个基底。
通常称这样一组切向量场为上的一个标架场，
为了叙述的方便，以后把称为，
在局部坐标系下的自然标架场。
设是维光滑流形上的切向量场，
如果对于每一点，存在点的容许局部坐标系，
使得限制在上的局部坐标表达式，
中的分量都是上的光滑函数（），
则称是上的光滑切向量场。
由定义和局部坐标系的相容性可得，
上的一个切向量场为光滑切向量场
关于每一个自然标架场的分量是光滑函数
在每一个容许坐标系上的限制是上的光滑切向量场。
上光滑切向量场的集合，记为，
显然，关于加法和数乘是封闭的，因而它是一个向量空间。
张量场
在点处的一个型张量，是指一个重线性映射，
，
其中，有个，称为反变阶数，有个，称为协变阶数。
若以表示在点的所有型张量构成的集合，则有，
。
不难看出，是一个维向量空间，
并且，在点的容许局部坐标系下，有一个自然基底，即，
，
。
由此可见，，
其中有个，有个。
令，，
光滑流形上的一个型张量场，
是指从到的一个映射，
使得对于任意的，都有。
上的型和型张量场，分别称为阶反变张量场和阶协变张量场。
光滑流形上的一个型张量场称为光滑的，
如果对于任意的，存在点的容许局部坐标系，
使得在上的限制具有如下局部表达式，
，
其中，是上的光滑函数。
上光滑的型张量场构成的集合记作，特别的，
，。
在集合中有自然的加法，数乘等运算，
任意两个光滑张量场能够逐点作张量积运算，另外，张量场还可以与光滑函数相乘，
使得成为一个-模。
光滑的一阶协变张量场（即余切向量场），又称为1次微分式。
把光滑流形上的1次微分式的集合记为，即。
外微分
光滑流形上的一个光滑的阶协变张量场是反对称的，
如果它作为映射，，
关于所有的自变量是反对称的，即交换任意两个自变量的位置，所得的值反号。
或等价的说，在任意的局部坐标系下，的分量关于下指标是反对称的。
光滑流形上的一个光滑的阶反对称协变张量场，
称为上的一个次外微分式。
同时，还约定，上的1次外微分式，就是上的1次微分式，即光滑的一阶协变张量场。
上的0次外微分式，指的是上的光滑函数。
上的次外微分式的集合记作，特别的，
，。
由定义可知，若，则在每一点，
是上的一个次外形式，
即，，
是一个反对称的重线性函数。
此外，每一个次外微分式，可以等同于反对称的重-线性映射，
。
通过逐点定义的方式，可以引入外微分式的加法，数乘和外积运算，
比如，外积的定义如下，，
，。
即有，，
这里的是反对称化算子。
进而，若令，，
则在上可以引入外微分运算。
设是维光滑流形，则存在唯一的一个映射，，
使得对于任意的非负整数，有，
并且满足以下条件，
（1）是线性的，即对于任意的，，有，
，
（2），有，
，
（3），是的微分，
（4）。
这样的映射，称为外微分（算子）。
外微分算子满足，
这意味着可以看做拓扑学忠的上边缘算子，
在这里，被看做加法群。
令，
，
中的元素称为上的次闭微分式，
中的元素称为上的恰当微分式，
这样，性质，表明是的子群。
商群称为光滑流形上的第个de Rham上同调群。
应该注意的是，de Rham上同调群是光滑流形的光滑结构的产物，
但是，著名的de Rham定理说，当是紧致光滑流形时，de Rham上同调群与的第个实系数上同调群是同构的，
由此可见，de Rham上同调群是流形的拓扑不变量。
向量丛
设是两个光滑流形，是一个光滑的满映射，
是维向量空间，如果在上存在一个开覆盖，
以及一组映射，它们满足下列条件，
（1），映射是从到的光滑同胚，
并且对于任意的，有，
。
（2）对于任意固定的，令，
，，
则映射是同胚，
而当时，
映射，
是线性同构，即。
（3）当时，
映射是光滑的。
则称为光滑流形上的秩为的向量丛，
其中，称为丛空间，称为底流形，
映射称为丛投影。
为了方便，以后也把向量丛，记为，或。
易证，对于任意的，在上具有自然的线性结构，
使得映射为线性同构，
以后把称为向量丛在点的纤维，也记为。
由此可见，向量丛，
是一簇“栽种在”光滑流形上的维向量空间。
映射，
称为向量丛的局部平凡化。
是上秩为的向量丛，
称为光滑流形上的切向量丛，简称为的切丛。
设是光滑流形上的向量丛，为开集，
若有光滑映射，使得，
，
则称为向量丛的定义在上的一个光滑截面，
特别的，当时，则称为向量丛的一个光滑截面。
向量丛的光滑截面的集合记为，
不难验证，集合是一个-模，
因而也是上的向量空间，
一般而言，作为实向量空间是无限维的。
因此，流形上的光滑切向量场，是切丛的光滑截面，
反之亦然，因此。
设是光滑流形上秩为的向量丛，，
如果存在个局部光滑截面，，，
使得是处处线性无关的，即对于任意的，
构成向量空间的一个基底，
则称是向量丛的（定义在上的）一个局部标架场。
特别的，当时，称是大范围的定义在上的标架场。
一般来说，向量丛的定义在整个底流形上的标架场未必是存在的，
而局部标架场总是存在的。
对偶丛
设是光滑流形上的秩为的向量丛，
对于任意的，用表示维实向量空间的对偶空间，
并记，
再定义映射，使得，
，，于是，
。
假定，，
是向量丛的局部平凡化，且是的一个开覆盖，
取定的一个标准基底，它的对偶基底记作，
对于任意的，设在上的局部截面由
确定，
，用表示在纤维中的对偶基底。
于是，可以定义映射，
，
使得，
，，
。
类似于切丛的构造方法，在中可以引入微分结构，使得成为秩是的向量丛，
而就是它的局部平凡化。
新构造出的向量丛称为已知向量丛的对偶丛。
特别的，光滑流形的切丛的对偶丛，
就是上的所有余切向量构成的向量丛，
称为的余切向量丛，或余切丛，并记为，
的（局部）标架场，称为（局部）余切标架场。
向量丛的直和与张量积
设和是光滑流形上的两个向量丛，它们的秩分别是和，
则由和，可以构造出向量丛的直和，
和张量积，具体做法如下。
，向量丛和在点的纤维，
分别记为和，
它们是两个实向量空间，并且，，令，
，
。
可以自然的引入投影映射，
，
和，
以及相应的微分构造，使得，
，
和
分别成为秩是和的向量丛，
称为向量丛和的直和及张量积。
特别的，光滑流形的个切丛，和个余切丛的张量积，
，
是由上在各点处的型张量构成的集合，
它是秩为的向量丛，即有，
，
其中，，
是流形在一点处的型张量空间。
向量丛称为光滑流形上的型张量丛，
它的光滑截面就是上的光滑张量场。
类似的，对于任意的，若以表示在点的次外形式空间，
并设，
则也是一个向量丛，称为上的次外形式丛。
外形式丛的光滑截面是上的外微分式，
于是有。
黎曼向量丛
设是光滑流形上的一个向量丛，
如果对于每一点，在纤维上指定了一个欧氏内积，
并且光滑的依赖于点，
则称是向量丛上的一个黎曼结构，
指定了一个黎曼结构的向量丛，称为黎曼向量丛。
内积
在维向量空间上，内积是指满足下列条件的双线性形式，
，
（1）对称性：，，
（2）正定性：，，其中等号成立当且仅当。
换句话说，上的一个内积，就是上的一个对称，正定的二阶协变张量，
指定了一个内积的向量空间，称为欧氏向量空间，
在这样的空间中，能够定义向量的长度以及向量之间的夹角。
设是一个维光滑流形，是上的一个光滑的二阶协变张量场，
如果是对称，正定的，即对于每一点，是切空间上的一个对称，正定的二阶协变张量，
则称是上的一个黎曼度量，
指定了一个黎曼度量的光滑流形，称为黎曼流形，
记为，或简记为。
根据定义，是上的内积（），
所以光滑流形上的黎曼度量，就是以光滑的依赖于点的方式，
在每一点的切空间上，指定一个内积，使之成为欧氏向量空间。
特别的，每一个欧氏向量空间，都是黎曼流形。
设是的一个容许的局部坐标系，则黎曼度量有局部坐标表达式，
，
其中，，
d定义，在每一点，都是正定矩阵，
如果引入对称化的乘积（对称张量积），
，
则可以写成二次微分形式，。
弧长
设是中一条光滑曲线，令，
，
并称之为曲线的弧长（长度）。
如果落在区域内，则它可用局部坐标表示为，
，，
因而，，
曲线的弧长与曲线的正则参数变换无关，也与光滑流形的局部坐标系的取法无关。
协变微分
设是一个维黎曼流形，，
如果是的一个容许坐标系，并且，则，
，
是与局部坐标系的选取无关的型光滑张量场。
于是，如果令，则是大范围定义在上的型光滑张量场。
称为光滑向量场的协变微分，或绝对微分，
相应的映射，
称为黎曼流形上的协变微分算子，或绝对微分算子。
设，
，称为光滑切向量场沿的协变导数，或协变微商，
其中是指张量场关于第一个反变指标和第一个协变指标的缩并运算。
在局部坐标系下，有如下的局部坐标表达式，
。
由此可见，协变微分算子又可视为映射，
其定义是，对于任意的，。
联络
设是维光滑流形，上的一个联络，是指满足下列条件的映射，
，
（1），
（2），
（3）
其中，，，，。
黎曼流形上的协变微分算子是光滑流形上的一个联络，
由于在满足第二可数公理的光滑流形上黎曼度量总是存在的，
因而上的联络也是存在的。
不过，一般说来，光滑流形上的联络不是唯一的。
指定了一个联络的光滑流形，称为一个仿射联络空间，
在这样的空间里，可以对光滑切向量场求协变微分和协变导数，
比如，对于任意的，
光滑切向量场称为向量场沿的协变导数，或协变微商。
设是维黎曼流形，则在上存在唯一的一个与度量相容的无挠联络，
称为的黎曼联络，或Levi-Civita联络。
微分算子
设，则是上的型光滑张量场，
讲进行缩并，便得到上的光滑函数，称它为光滑切向量场的散度，
并记作，即有。
由所确定的线性映射，
称为黎曼流形上的散度算子。
设，则，
借助黎曼度量，对应上一个光滑切向量场，记为，
使得对于任意的有，，
切向量场称为光滑函数在黎曼度量下的梯度，
有时也用或表示光滑函数的梯度。
显然，由确定的映射，
是作用在光滑函数上的一阶线性微分算子，称为黎曼流形上的梯度算子。
把梯度算子与散度算子复合起来，便得到一个新的线性映射，
，
称为黎曼流形上的Beltrami-Laplace算子。
平行移动
设是一个维仿射联络空间，是中的一条光滑曲线，
，如果沿曲线有，
，，
则称切向量场沿曲线是平行的，
或称是沿曲线的平行向量场。
设是光滑流形上的一条连续曲线，
如果存在区间的一个划分，，
使得对于每一个，，
是上的光滑曲线，
则称是上的一条分段光滑曲线。
此时，称为曲线的顶点，
向量与，
之间的夹角称为曲线在顶点处的转角。
上述定义中的划分，称为分段光滑曲线的一个光滑划分。
设是上的一条分段光滑曲线，是上沿曲线定义的连续切向量场，
如果存在的一个光滑划分，，
使得在每一个小区间上的限制都光滑的依赖于自变量，
则称是沿曲线定义的分段光滑（切）向量场。
如果对于任意的，沿光滑曲线段都是平行的，
则称切向量场沿是平行的，
或称是沿的（分段光滑的）平行向量场。
设是一个维仿射联络空间，，
是从点出发的一条分段光滑曲线，
则对于任意的，沿曲线存在唯一的一个分段光滑平行向量场，
满足初始条件。
因此，沿分段光滑曲线的平行向量场的集合，构成一个与同构的向量空间，
特别的，对于任意取定的，，
沿的平行向量场给出了从到的线性同构，
，
称为沿曲线从到的平行移动。
这样，由切向量确定的沿曲线平行的向量场可以表示为，
，。
总之，在光滑流形上只要指定了联络，就可以建立平行移动的概念，
反过来，切向量场的协变导数（联络）也可以借助平行移动来得到。
设是一个维仿射联络空间，，
是中任意一条光滑曲线，则对于任意的，
。
曲率张量场
设是维仿射联络空间，对于任意的，
定义映射如下，
，，
并称为仿射联络空间关于光滑切向量场的曲率算子。
由曲率算子可以定义如下三重线性映射，
，
，。
可知，对于每一个自变量都是-线性的，
故是上的型光滑张量场，
称为仿射联络空间的曲率张量（场）。
作为张量场，在每一点给出一个型张量，
，
使得，。
称为在点的曲率张量。
利用在局部坐标系下的联络系数，可以算出曲率张量的分量。
，
其中，。
因此，对于任意的，如果
，，
则作为型张量场的曲率算子有下述局部坐标表达式，
。
特别的，对于黎曼流形来说，它具有唯一确定的黎曼联络，
它的曲率张量称为黎曼流形或度量的曲率张量。
在局部坐标系下，黎曼流形的曲率张量的分量，让然由上式给出，
只是其中的联络系数是度量张量的分量，
的Christoffel记号。
设是黎曼流形，令
，，
则得到一个四重线性映射，
。
显然对每一个自变量是-线性的，
因此，是上的四阶协变张量场，称为黎曼流形的黎曼曲率张量（场）。