极小元与最小元
设是偏序集，，，
如果，，
则称为的极小元。
如果，，
则称为的最小元。
注意极小元与最小元的区别，
最小元是集合中最小的元素，它与集合中其他元素都可比，
而极小元不一定与集合中其他元素都可比，
只要没有比它小的元素，它就是极小元。
对于有穷集合，极小元一定存在，但最小元不一定存在，
最小元如果存在一定是唯一的，但极小元可能有多个。
良基关系
设是集合上的二元关系，
如果不存在由中的元素构成的无穷下降链，
，
则称为良基关系（well-founded relation）。
若，则称是的前趋。
良基关系一定是非自反的，也就是说不成立，
否则就会有一条无穷下降链，。
一般我们用来表示关系的自反闭包，即，
，当且仅当，或。
良基关系的传递闭包是一个良基关系。
它的自反传递闭包是一个偏序关系。
良基性质
有时还可以用极小元的概念来定义良基关系。
设是集合上的二元关系，称关系是良基的，
当且仅当，的所有非空子集都含有一个极小元，
即，，。
（1）充分性
如果是集合上的良基关系，
则我们可以通过以下方法找出集合的任一子集中的极小元。
取为中的任一元素，
假设中已经构造了一条链，
则在中，或者存在，或者不存在这样的。
如果中不存在这样的，则停止链的构造，就是的极小元，
否则，取，由于是良基的，
所以，链的长度是有限的，
最左边的元素，就是的极小元。
（2）必要性
如果集合的所有非空子集都有极小元，
那么必定不存在一条无穷下降链，，
否则，就是集合的一个不含极小元的非空子集，与前提矛盾。
良基归纳法
设是集合上的良基关系，是某一性质，
则，当且仅当，
。
良基归纳法说的是，
要证明集合上的所有元素都满足某一性质，只要证明，
对于任意元素，如果它的所有前趋该性质都成立，必有对来说该性质也成立。
（1）充分性
如果，
则，且，
因此，。
（2）必要性
假设，
但是，使得。
那么，我们就可以构造出一个集合，满足，，
因此，根据良基关系的性质，必有极小元，为真。
但是根据前提，，
我们有，，
由于为真，所以一定，，
所以，，且，这与为的极小元矛盾。
因此，不存在，使得，
即，。