集合论的基础知识
幂集
设是非空集合，
记是的全体子集（包括及）的集合，
称为的幂集。
包含关系
表示是集合中的一个元素。
表示不是集合的元素。
表示包含于（包含的情形）。
表示不包含与，即中有不属于的元素。
交与并
现在列出中的几种运算及它们的性质。
表示集合族中所有集合之交。
表示集合族中所有集合之并。
交换律，结合律和分配律
交并运算各自都满足交换律和结合律。
交与并有分配律：
（1）
（2）
差和余
差，表示属于而不属于的元素的集合。
余集，。
因此，
De Morgan公式
（1）
（2）
特别的当为全集时，
（3）
（4）
映射
设和都是集合，映射是一个对应关系，使得
，对应着中的一点（称为的像点）
若，记，是的一个子集，
称为在下的像。
若，记，
称为在下的原像。
当时，称是满的，
若中的不同点的像点也不同，称是单的。
既单又满的映射称为一一对应。
当是一一对应时，它就有一个逆映射，记作。
映射的复合
设和都是映射，
和的复合（或称乘积）是到的映射，记作，
规定为，。
，则有，
（1）
（2）
恒同映射，限制与包含映射
集合到自身的恒同映射（保持每一点不变）记作（常简记为）。
若是映射，，规定在上的限制为，
，。
记为包含映射，即，，
于是，，。
笛卡尔积
设和都是集合，称集合
为与的笛卡尔积。
称和为有序偶的坐标。
等价关系
集合上的一个关系是的一个子集，
当时，说与是相关的，记作。
集合的一个关系称为等价关系，如果满足：
（1）自反性：，
（2）对称性：若，则
（3）传递性：若，，则
等价关系常用表示，例如，可记作，
称为等价于。
当上有等价关系时，可以把分成许多子集，
凡是互相等价的点属于同一子集。
称每个子集为一个等价类，记是全部等价类的集合，
称为关于的商集。
所在的等价类记作，
于是，
拓扑空间
子集族
设是一个非空集合，是的幂集，
把的子集（即以的一部分子集为成员的集合）称为的子集族。
拓扑
设是一个非空集合，的一个子集族称为的一个拓扑，
如果它满足
（1）和都包含在中
（2）中任意多个成员的并集仍在中
（3）中有限多个成员的交集仍在中
集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记作。
称中的成员为这个拓扑空间的开集。
从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。
离散拓扑
设是一个非空集合，构成上的一个拓扑，称为上的离散拓扑。
也是上的拓扑，称为上的平凡拓扑。
有限补拓扑，可数补拓扑
设是无穷集合，，称为上的有限补拓扑。
设是不可数无穷集合，，称为上的可数补拓扑。
度量
集合上的一个度量是一个映射，
它满足
（1）正定性：，；，当
（2）对称性：，
（3）三角不等式：，
当集合上规定一个度量后，称为度量空间，记作。
，
规定上的度量为，
记，称为维欧氏空间。
球形邻域
设，是一个正数，称的子集
为以为心，为半径的球形邻域。
如果规定的子集族是中若干球形邻域的并集，
那么构成了上的一个拓扑，
并称为上由度量决定的度量拓扑。
因此，每个度量空间都可以自然的看成具有度量拓扑的拓扑空间。
拓扑空间的几个基本概念
闭集
拓扑空间的一个子集称为闭集，如果是开集。
也就是说，闭集就是开集的余集，开集也一定是一个闭集的余集。
例如，在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集。
在平凡拓扑空间中，只有两个闭集，和。
拓扑空间中的闭集满足：
（1）和都是闭集
（2）任意多个闭集的交集是闭集合
（3）有限个闭集的并集是闭集
内点，邻域和内部
设是拓扑空间的一个子集，点，
如果存在开集，使得，
则称是的一个内点，是的一个邻域。
的所有内点的集合称为的内部，记作。
（1）若，则
（2）是包含在中所有开集的并集，因此是包含在中的最大开集
（3）当且仅当是开集
（4）
（5）
聚点，导集和闭包
设是拓扑空间的子集，，
如果的每个邻域都含有中的点，则称为的聚点。
的所有聚点集合称为的导集，记作。
称集合为的闭包。
由定义不难看出，当且仅当的任一邻域与都有交点。
（1）若，则
（2）是所有包含的闭集的交集，所以是包含的最小闭集。
（3）当且仅当是闭集
（4）
（5）
可分拓扑空间
拓扑空间的子集称为稠密的，如果。
如果有可数的稠密子集，则称是可分拓扑空间。
子空间
设是拓扑空间的一个非空子集，
规定的子集族为，
可证是上的一个拓扑，称为导出的上的子空间拓扑，
称为的子空间。
以后对拓扑空间的子集都将看做拓扑空间，即子空间。
对于子空间的子集，笼统的说是不是开集意义就不明确了，
必须说明在中看还是在全空间中看，这两者是不同的。
例如，是的子空间，开区间在中是开集，
而在中不是开集，因此开集的概念是相对的。
同样，闭集，邻域，内点，内部，聚点和闭包等等概念也都是相对概念。
连续映射与同胚映射
连续映射
设和都是拓扑空间，是一个映射，
，如果对于中的任一邻域，
总是的邻域，则说在处连续。
如果把定义中的『任一邻域』改成『任一开邻域』，那么定义的意义不变，
因此，在点处连续，也就是，
对包含的每个开集，必存在包含的开集，
使得，。
如果映射在任一点都连续，
则说是连续映射。
（1）的任一开集在下的原像是的开集
（2）的任一闭集在下的原像是的闭集
同胚映射
如果是一一对应，
并且及其逆{-1}:YX">都是连续的，
则称是一个同胚映射，简称同胚。
当存在到的同胚映射时，就称与同胚，
记作。
值得注意的是，同胚映射中条件连续不可忽视，
它不能从一一对应和的连续性推出。
拓扑不变性
拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念，称为拓扑概念，
在同胚映射下保持不变的性质，称为拓扑性质。
当是同胚映射时，
的每个开集的像，是的开集，
而的开集的原像是的开集，
因此开集概念在同胚映射下保持不变，它是拓扑概念。
由它规定的闭集，闭包，邻域，内点等等概念都是拓扑概念。
用开集或其派生的拓扑概念来刻画的性质，都是拓扑性质。
拓扑基
生成的子集族
设是的一个子集族，
规定新的子集族，它的元素为中任意多个成员的并集。
称为所生成的子集族，
显然有，。
投射
设和是两个集合，记为它们的笛卡尔积，
规定为，，
称为到的投射。
乘积空间
设和是两个拓扑空间，
现在要在笛卡尔积上规定一个与密切相关的拓扑，
使得和都连续，并且是满足此要求的最小拓扑。
设，
则由生成的子集族，构成了上的一个拓扑，
称为上的乘积拓扑。
称为和的乘积空间，
简记为。
可证，是使得和都连续的最小拓扑。
拓扑基
称集合的子集族为集合的拓扑基，
如果由生成的子集族是的一个拓扑。
称拓扑空间的子集族为这个拓扑空间的拓扑基，
如果由生成的子集族。
这里提出了两个有联系的不同概念，集合的拓扑基和拓扑空间的拓扑基。
前者只要求是集合的一个拓扑，
而后者要求是原有的拓扑。
这两个概念的判断方法也是不一样的。
是集合的拓扑基的充分必要条件是：
（1）
（2）若，则
是拓扑空间的拓扑基的充分必要条件是：
（1）（即的成员都是开集）
（2）（即每个开集都是中一些成员的并集）
分离公理
公理 任何两个不同的店与，有邻域不含，有邻域不含。
公理
任何两个不同点有不相交邻域。
这里的『邻域』可改成『开邻域』，而公理的含义不变。
满足也一定满足公理，但从公理推不出公理。
可证，满足公理，当且仅当的有限子集是闭集。
公理是最重要的分离公理，满足公理的拓扑空间称为Hausdorff空间。
公理
任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域。
公理
任意两个不想交的闭集有不想交的（开）邻域。
（当时，说是集合的邻域）
如果满足公理，则它的单点集是闭集，
因此公理推出公理，公理推出公理，
然而，没有公理的前提下，上述关系不成立。
可证，度量空间满足公理（）。
满足公理，当且仅当任意点和它的开邻域，存在的开邻域，
使得。
满足公理，当且仅当任意闭集和它的开邻域，有的开邻域，
使得。
可数公理
邻域基
设，把的所有邻域的集合称为的邻域系，记作。
的一个子集（即的一族邻域）称为的一个邻域基，
如果的每个邻域至少包含中的一个成员。
若是拓扑空间的拓扑基，则也是的邻域基。
公理
拓扑空间中的任一点都有可数的邻域基。
公理
拓扑空间有可数拓扑基。
空间称为完全可分空间，空间一定也是空间。
可证，可分度量空间是空间。
紧致性
收敛
设（可简记为）是拓扑空间中的点的序列，
如果点的任一邻域都包含中几乎所有项，
即，只有有限个不在中，
则说收敛到，记作。
列紧性
拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛的子序列。
覆盖
设是拓扑空间的子集族，
称是的一个覆盖，如果。
如果覆盖的每个成员都是开（闭）集，则称为开（闭）覆盖。
如果覆盖只包含有限个成员，则称是一个有限覆盖。
如果的一个子族本身也构成的覆盖，就称是的子覆盖。
粘接引理
设是的一个有限闭覆盖，
如果映射在每个上的限制都是连续的，
则是连续的。
紧致性
拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有有限的子覆盖。
可证，紧致空间是列紧的，列紧度量空间是紧致的。
对于度量空间来说，它是列紧的当且仅当它是紧致的。
紧致子集
一个拓扑空间的子集如果作为子空间是紧致的，就称为的紧致子集。
可证，紧致空间的闭子集紧致，紧致空间在连续映射下的像也紧致。
定义在紧致空间上的连续函数有界。
连通性和道路连通性
连通性
拓扑空间称为连通的，如果它不能分解为两个非空不想交开集的并。
连通空间在连续映射下的像也是连通的。
连通空间上的连续函数可以取到一切中间值。
若有一个连通的稠密子集，则连通。
如果有一个连通覆盖（中每个成员都连通），
并且有一个连通子集它与中每个成员都相交，
则连通。
道路连通性
设是拓扑空间，从单位闭区间到的一个连续映射，
称为上的一条道路。
把点和分别称为的起点和终点，统称为端点。
道路是指映射本身，而不是它的像集。
事实上，可能有许多不同道路，它们的像集完全相同。
如果道路是常值映射，即是一个点，就称为点道路。
点道路完全被像点决定，记为。
起点与终点重合的道路，称为闭路，点道路是一个闭路。
道路有两种运算：逆和乘积。
一条道路的逆也是上的道路，记作，
规定，。
上的两条道路与，如果满足，则可规定它们的乘积，
它也是上的道路，规定为
，
，
由粘接引理可证，是连续的。
拓扑空间称为道路连通的，
如果存在中分别以和为起点和终点的道路。
道路连通空间一定连通。
道路连通空间在连续映射下的像也是道路连通的。
商空间
商拓扑
一般的，一个集合上如果有等价关系，相应的等价类的集合记作，
称为关于的商集。
把上的点，对应到它所在的等价类，得到映射，称为粘合映射。
设是一个拓扑空间，是集合上的一个等价关系，
规定商集上的子集族
则可证是上的一个拓扑，
称为在下的商拓扑，
称是关于的商空间。
商映射
设和是拓扑空间，映射称为商映射，如果
（1）连续
（2）是满的
（3）设，如果是的开集，则是的开集
当是的一个商空间时，粘合映射是一个商映射。
任给映射，规定中的等价关系如下：
，若，就说与在意义下等价，
记作。
可见，如果是商映射，则。
连续的满映射，如果它还是开映射或闭映射，则它是商映射。
商映射的复合也是商映射。
拓扑流形与闭曲面
拓扑流形
一个Hausdorff空间称为维（拓扑）流形，
如果任一点都有一个同胚与或的开邻域。
这里是半个维欧氏空间，规定为
边界点
设是维流形，点如果有同胚于的开邻域，
就称是的内点（注意，这里的内点与子集的内点不同），
否则就称为边界点。
全体内点的集合，称为的内部，它是的一个开集。
闭曲面
二维流形称为曲面。
没有边界点的紧致连通曲面，称为闭曲面。