代数结构
代数运算
设为集合，函数称为上的一个二元代数运算，
简称二元运算。
设为集合，为正整数，表示的阶笛卡尔积，
函数称为上的一个元代数运算，简称元运算。
如果是上的运算，也可以称在运算下是封闭的。
单位元和零元
设为集合上的二元运算，
若存在（或）使得都有（或），
则称（或）是中关于运算的左（或右）单位元。
若关于运算既为左单位元又为右单位元，则称为中关于运算的单位元。
若存在（或）使得都有（或），
则称（或）是中关于运算的左（或右）零元。
若关于运算既为左零元又为右零元，则称为中关于运算的零元。
可证，
如果集合中的任意元素，关于运算既有左单位元，又有右单位元，则左单位元等于右单位元，且是中唯一的单位元。
如果集合中的任意元素，关于运算既有左零元，又有右零元，则左零元等于右零元，且是中唯一的零元。
逆元
设为集合上的二元运算，是关于运算的单位元。
对于，若存在（或）使得（或），
则称（或）是关于运算的左（或右）逆元。
若既是关于运算的左逆元，又是关于运算的右逆元，
则称是关于运算的逆元。
可证，如果集合中的任意元素，关于运算既有左逆元，又有右逆元，则左逆元等于右逆元，且是该元素唯一的逆元。
代数系统
一个代数系统是一个三元组，
其中是一个非空的对象集合，称为的载体，
是一个非空的运算集合，即，是上所有元运算的集合，
是代数常数的集合。
对于任何代数常数，可以把看成上的零元运算，
这时可将代数系统写作，
这时，。
同类型的代数系统
设，是具有个运算的代数系统，。
若对于，和具有同样的元数，
则称和是同类型的代数系统。
子代数
设是代数系统，是的非空子集，
若对中所有的运算封闭，则称是的子代数系统，
简称子代数。
当是的真子集时，称是的真子代数。
同态与同构
设，是同类型的代数系统，
对于，和是元运算，
函数对于所有的运算，都有，
则称是代数系统到的同态映射，简称同态。
若是满射，则称是满同态，
若是单射，则称是单同态，
若是双射，则称是同构，
若，则称是自同态，若又是双射，则称是自同构。
同态像
设，是同类型的代数系统，
对于，和是元运算，
是到的同态，
则关于中的运算构成了一个代数系统，且是的子代数，
称为在下的同态像。
同余关系
设代数系统，其中是元运算，
关系是上的等价关系，
任取上个元素，和，
如果对，成立，就有
则称等价关系对运算具有置换性质。
如果等价关系对中的所有运算都具有置换性质，
则称关系是上的同余关系，
称中关于的等价类为上的同余类。
商代数
设代数系统，其中是元运算，
关系是上的同余关系，
关于同余关系的商代数记作，
其中是关于同余关系的商集。
对于，运算规定为：
，有
。
同态导出的等价关系
若是到的同态，
定义等价关系当且仅当，。
则称，该等价关系是同态导出的等价关系。
可证，同态导出的等价关系是上的同余关系。
自然映射
设是代数系统，
其中是元运算，，是上的同余关系，
则自然映射，，
是从到上的同态映射。
同态基本定理
设，是同类型的代数系统，
对于，和是元运算，
是到的同态，
关系是导出的上的同余关系，
则关于同余关系的商代数，同构于在下的同态像，即
同态基本定理告诉我们，任何代数系统的商代数是它的一个同态像。
反之，如果是的同态像，则与的一个商代数同构。
群结构
半群
设是集合上的二元运算，若运算在上是可结合的，
则称代数系统是半群。
幺半群
设是半群，
若存在为中关于运运算的单位元，
则称的幺半群。
群
是含有一个二元运算的代数系统，
如果满足以下条件：
（1）运算是可结合的，
（2）存在是关于运算的单位元，
（3）任何，关于运算的逆元。
则称是一个群。
交换群
若群中运算满足交换律，则称为交换群，或Abel群。
子群
是群，是的非空子集，若关于中的运算构成一个群，
则称是的子群，记为。
如果子群是的真子集，则称是的真子群，记为。
若把群看做是具有一个可结合的二元运算，一个求逆元的一元运算，
和一个零元运算（二元运算的单位元）的代数系统，
可以证明，的子群就是代数系统的子代数。
陪集分解
是群，是的子群，，定义
则称是子群在中的一个右陪集。
可以证明，
（1），
（2），
（3）
是群，是的子群，
在上定义二元关系，有
则为上的等价关系，且。
是群，是的子群，则，
或者，或者，
且
因此，子群的右陪集构成了群的一个划分。
正规子群
是群，是的子群，若都有，
则称是的正规子群，记为。
商群
是群，是的正规子群，
定义为在中的所有右陪集构成的集合，
在上定义运算，对任意的，
有。
则关于运算构成了一个群，称为的商群。
注：如果不是正规子群，商仍可以得到，但结果将不是群，
而是齐次空间。
群同态
设和是群，是到的映射，
若对于任意有，
则称是群到的同态映射，简称同态。
若把群看做是具有一个可结合的二元运算，一个求逆元的一元运算，
和一个零元运算（二元运算的单位元）的代数系统，
则上述定义的群同态，就是代数系统
到的同态。
同态核与同态像
设是群到的同态，则
可证，同态核是的正规子群，
而同态像是的子群。
群同态基本定理
设是群，是的正规子群，则的商群是的同态像。
不难看出，群同态基本定理就是一般代数系统同态基本定理的特例。
特别的，如果是群到的同态，
则。
链复形与同调群
链复形
在数学上，同调代数领域中的一个链复形，
是一个交换群或者模的序列，，
通过一系列同态相连，
使得每两个接连的映射复合为零，即。
它们常写作如下形式：
同调群
定义链复形的同调群为，
当所有同调群为零时，此链复形为正合的。
上链复形
链复形概念的一个变种是上链复形。
一个上链复形，是一个交换群或者模的序列，
由一系列同态相连，
使得任何两个接连的映射复合为零，即。
上同调群
定义上链复形的上同调群为，
当所有上同调群为零时，此上链复形正合。
结语
我们看到上同调群，
是关于的商群。
下面我们证明是的正规子群。
（1）我们先证是的子群。
对于上链复形，任何两个接连的映射复合为零，说明。
且是同态像，所以，
因此关于群运算封闭，
所以，根据子群的定义，。
（2）我们再证交换群的子群是正规子群。
因为是交换群，所以它的子群也是交换群。
而交换群的任一子群都有，，
因此交换群的任一子群都是正规子群。
综上，。
所以，构成了一个群，
它的元素是的陪集，这些陪集划分了。