外测度
设，如果是中的可数个开矩体，
且有，
则称为的一个-覆盖。
显然这样的覆盖有很多，且每一个-覆盖确定了一个非负广义实值，
（可以是，表示的体积），
我们称，，
为点集的Lebesgue外测度。
中点集的外测度具有以下性质：
（1）非负性：，
（2）单调性：如果，那么
（3）次可加性：
现在我们把外测度的概念，从扩展到任意非空集合上，
设是一个非空集合，是定义在幂集上的一个取广义实值的集合函数，且满足，
（1），
（2）如果，，那么
（3）如果是的子集列，则有
那么我们就称是上的一个外测度。
可测集
设，如果对于任意的点集，有
，
则称为Lebesgue可测集，简称可测集，
可测集的全体称为可测集类。
可测集具有以下性质：
（1）
（2）如果，则
（3）如果，，则，，以及都属于
（4）如果，则其并集也属于
如果进一步有，则
，
即在上满足可数可加性（或称-可加性）。
中的可测集类构成了一个-代数，
对于可测集，其外测度称为测度，记为，
这就是通常所说的上的Lebesgue测度。
代数
设是由集合中的一些子集所构成的集合族，
且满足下述条件：
（1）
（2）如果，则
（3）如果，则
这时我们称是一个-代数。
设是集合中一些子集所构成的集合族，
我们称-代数包含，
如果对于任意的，都有。
我们称为包含的最小-代数，
如果对于任意的包含的-代数，
如果，那么。
包含的最小-代数，记为，
称为由生成的-代数。
可测空间
集合连同其子集的-代数一起，称为可测空间，记为。
三元组称为测度空间，其中，为定义在上的测度。
如果，且，则称为的零测集。
如果测度空间满足，
则称它为概率空间，对应的称为概率测度。
在概率空间中，中的集合称为事件，
称为事件发生的概率。
Borel集
由中一切开集构成的开集族所生成的-代数，
称为Borel -代数，记为，
中的元素称为Borel集。
我们可以将Borel集的概念扩展到拓扑空间，
拓扑空间，其中是拓扑空间的开集族，
我们称为上的Borel集合族，
其中的集合称为中的Borel集，而称为拓扑可测空间。
可以证明，任一Borel集都是可测集。
随机变量
设和是可测空间，
如果映射满足，，
就称它是-可测的，记为。
即，对于任意的，由。
在概率论中，-可测映射，通常称为随机元，或取值于的随机变量。
当（具有欧氏距离），，（Borel集）
随机元（是-可测的）称为随机向量。
可测映射可以将测度由已知的空间导向另一个空间，
设和是可测空间，
并且在上给定某个概率测度，
设是-可测映射。
在上的测度称作随机元的概率分布或分布，用表示，
如果满足以下条件，。
测度称为在可测映射下，测度的像。
可证，在上的任意概率测度都可以看做某个随机元的分布。
随机过程
在某个可测空间上，对每个给定随机元，
则随机元族，称为随机函数。
这里需要解释一下，在上述定义中，
所有的随机元都是定义在同一个可测空间上，
但是，为了有利于研究，经常认为随机元的值域可以是不同的。
准确的说，给定一个可测空间族，这时，引进的随机元族，
可以看做是定义在上的函数，
并且对每个取值于，同时是-可测映射（）。
对固定的，函数或，称作轨道，实现或样本函数。
在随机函数的符号中，一般来说要省略自变量，简写为，或，
这两种简写的利用要根据具体情况而定。
如果，则参数可以解释为时间，而随机函数称作随机过程。
当集合为直线，半直线，线段，区间或半区间，则说是连续时间的随机过程，
而当，则说是离散时间随机过程或随机序列，
如果，则称为随机场。